Dörtgen Formülleri - Çeşitleri ve Özellikleri - konu anlatımı

Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın dört doğru parçasıyla birleştirilmesinden elde dilen çokgene DÖRTGEN denir.

A,B,C,D noktalarına dörtgenin köşeleri [AB],[BC],[CD],[DA] doğru parçalarına ise kenarları denir.

ABCD dörtgenin kenar uzunluklarını [AB]=a , [BC]=b , [CD]=c , [DA]=d [AC] köşegen uzunluğunu e , [BD] köşegen uzunluğunu ise f ile göstereceğiz.(Şek.1)

*Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=3600

*Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

m(A’)+m(B’)+m(C’)+m(D’)=360⁰

*Bir dörtgenin aynı kenara bitişik iki açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısıdır. X=  ‘dir. (Şek.2)

*Bir dörtgenin karşılıklı iki açısının açıortayları arasındaki açılardan küçüğün ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının yarısıdır. X=  (Şek.3)

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde [AC] [DB]= {P} , [AC]=e [BD]=f ise

A(ABCD)=  e. f. sin   (Şek.4)

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde S1.S3 = S2.S4 tür. (Şek.5)

*Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir ın köşeleridir. (Şek.6)

*Bir dörtgende karşılıklı iki açı dik ise, bu açıların bitişik kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.(Şek.7)

İspat: ADC üçgeninde  [AC]2 =[DA]2 + [DC]2

ABC üçgeninde   [AC]2 =[AB]2 + [BC]2

Buradan;

[AB]2 + [BC]2 = [DC]2 + [DA]2 elde edilir.

*Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.(Şek.8)

İspat: AOB üçgeninde [AB]2 = [AO]2 + [BO]2   DOC üçgeninde [DC]2 = [DO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplanırsa

[AB]2 + [DC]2 = [AO]2 + [DO]2 +[BO]2 +[OC]2 (1)

AOD üçgeninde [AD]2 = [AO]2 + [DO]2   BOC üçgeninde [BC]2 = [BO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplarsak

[AD]2 + [BC]2 = [AO]2 +[DO]2 + [BO]2 + [OC]2 (2)

(1)   ve  (2) eşitliklerinin sağ taraflarının eşit olduğunu görüyoruz. Öyleyse;

[AB]2 + [CD]2 = [BC]2 + [DA]2

*Bir dörtgende karşılıklı iki kenar ile köşegenlerin orta noktaları bir paralel kenarın köşeleridir. Bu paralel kenarın çevresi, dörtgenin diğer iki kenar uzunluğunun toplamı kadardır. (Şek.9)

İspat: E,F,G,H sırasıyla [AB],[BD], [CD] ve [AC]’nin orta noktalarıdır.

CAB üçgeninde EH // BC        CDB üçgeninde GF // BC  ise EF // GF (1)

DAC üçgeninde GH // DA       DAB üçgeninde EF // DA ise GH // EF (2)

(1) ve (2)’den EFGH paralel kenar olur. Bu paralel kenarın çevresi de [AD] + [BC] ‘dir.

*ABCD dışbükey dörtgeninin iç bölgesindeki herhangi bir nokta P ise (Köşegenlerin kesim noktası dışında);

[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] ‘dir. (Şek.10)

İspat: PAC üçgeninde [PA] + [PC] > [AC] ve PBD üçgeninde [PB] + [PD] > [BD] dir. Taraf tarafa toplarsak

[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] bulunur.

Not: P noktası  köşegenlerin kesim noktası ise bu durumda  [PA] + [PB] + [PC] + [PD] = [AC] + [BD] olur.

*ABCD dörtgeninin [AC] ve [BD] köşegenlerinin orta noktaları E ve F, [EF]= x ,[BD]= f, [AC]= e ise

‘dir. (Şek.11)

İspat: A ile F’ yi; F ile de C’ yi birleştirelim.[AF]= m,[FC]= n olsun.

ABD üçgeninde kenarortay teoremine göre          (1)

DBC üçgeninde kenarortay teoremine göre            (2)

(1) ve (2)’den

2 (m2+n2)=a2+b2+c2+d2-f2   (3)

FAC üçgeninde kenarortay teoremine göre  ’dir. Buradan  4×2 = 2(m2+n2) -e2 yazılabilir.

2(m2+n2)   yerine (3)’de bulduğumuz eşitlikle yazarsak 4×2 = a2+b2+c2+d2-f2-e2 olur.

Buradan dabulunur.

Paralel Kenar  Dörtgen

Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgene paralel kenar denir. (Şek.12)

[AB] // [DC] ve [BC] // [AD]

Özellikleri:

1- Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. [AB]=[DC], [AD]=[BC]

2-Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir. m(A)=m(C), m(B)=m(D)

3-Aynı kenara ait bitişik açılar birbirlerinin bütünleridir.

m(A)+m(B)=180,   m(B)+m(C)=180,    m(C)+m(D)=180,        m(D)+m(A)=180

4-Köşegenler birbirlerini ortalar.(Şek.13) [AO]=[OC],   [BO]=[OD]’dir.

5-Köşegenler paralel kenarı 4 eş alana ayırırlar.

A(OAB)=A(OBC)=A(OCD)=A(ODA)=

*[DC] üzerinde alınan bir P noktasını A ve B ile birleştirdiğimizde elde edilen, PAB’nin alanı ABCD alanının yarısıdır. (Şek.14)

İspat: P den BC ye bir paralel çizelim. PE // AD // BC , PEBC bir paralel kenar olur.

A(PEB)=A(PBC) (1) ,

DAEP paralel kenarında A(PAE)=A(DAP)  (2).

(1) ve (2)’yi taraf tarafa toplayalım. A(PEB)+A(PAE)=A(PBC)+A(DAP)    A(PAB)=A(PBC)+A(DAP) Buradan da  bulunur.

*Herhangi bir ABCD paralel kenarında [AF]=[DF], [BE]=[EC] ise [AK[=[KL]=[LC]’dir. (Şek.15)

İspat:   AKF ile CKB üçgenleri benzerdir.            (1)

Aynı şekilde CLE ile ALD üçgenleri de benzerdir.     (2)

[AF]=[CE] idi . Buradan AKF ile CLE üçgenleri de benzer olur. [AK]=[CL] bulunur. Böylece (1) ve (2)’den [AL]=[KC] [AL]=2[AK]=2[CL] den [AK]=[KL]=[LC] elde edilir.

*ABCD paralel kenarında köşegen uzunlukları e ve f, kenar uzunlukları a ve b ise

e2+f2 = 2(a2+b2) ‘dir. (Şek.16)

İspat: CAB üçgeninde kenarortay teoremini yazalım.

’dir.   ve Buradan da e2+f2 = 2(a2+b2) bulunur.

*Bir paralel kenarın kenarlarını aynı yönde hareketle aynı miktarda uzattığımızda elde ettiğimiz dörtgen yine bir paralel kenardır.(Şek.17)

ABCD bir paralel kenar, [AA’]=[BB’]=[CC’]=[DD’] ise A’B’C’D’ bir paralel kenardır.

İspat: AA’B’ üçgeniyle CC’D’ üçgenleri benzerdir.(A.K.A) dan [A’B’]=[C’D’] olur. CBB’ ile de A’DD’ benzerdir. Buradan da [A’D’]=[C’B’] karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan bir dörtgen elde edilir. Bu da paralel kenardır.

*ABCD paralel kenarında [EB]=[FC]=[GD]=[HA] ise EFGH dörtgeni bir paralel kenardır.(Şek.18)

İspat: AEH ile CGF ve EBF ile GDH üçgenleri benzerdir.(K.A.K)

Buradan da [HE]=[FG] ve  de [EF]=[GH] elde edilir. Bu durum da EFGH bir paralel kenardır.

*(Şek.19)’da ABCD bir paralel kenar ise [DE]2=[EF].[EG]’dir.

İspat: DAE ile FCE üçgenleri benzerdir. Buradan   (1) EAG ile de ECD benzerdir.  (2)

(1)   ve (2)den   olur.

Buradan da [DE]2=[FE].[EG] elde edilir.

*Herhangi bir ABCD paralel kenarında [BE]=[EC] ve [DF]=[FC] ise A(AECF)=  dir. (Şek.20)

İspat: A(AEC)=     A(ACF)=   toplarsak A(ACEF)=   bulunur.

*Şekil 21 deki gibi bir ABCD paralel kenarında [AE]=[EB] ve [DF]=[AF] ise

A(FEC)=  ’dir.

İspat: A(FAEC)=     A(FAE)=  taraf tarafa çıkarırsak A(FEC)=  bulunur.

Eşkenar Dörtgen

Geometride bir eşkenar dörtgen (baklava dilimi, rhombus veya rombus da denir), dört kenarı eşit uzunlukta bir dörtgendir. Her eşkenar dörtgen bir paralelkenardır ve dik açılı olanı bir karedir. Öklid’in özgün rhombus tanımı kareyi dışlar ama modern matematikçiler kareyi de kapsayan tanımı tercih ederler.

Kısaca kenar uzunlukları birbirine eş olan dörtgene eşkenar dörtgen denir.

Eşkenar Dörtgenin Özellikleri

Her eşkenar dörtgende köşeleri birleştiren iki çift paralel kenar ve iki köşegen vardır. Eşleşik (benzer) üçgenler kullanılarak, eşkenar dörtgenin bu köşegenlerin her birine göre simetrik olduğu ispatlanabilir. Dolayısıyla her eşkenar dörtgen aşağıdaki özellikleri taşır:

1. Karşı açılar eşittir.
2. Köşegenler birbirine diktir; yani eşkenar dörtgen bir dikköşegenli dörtgendir.
3. Köşegenler açıortaydır.

İlk özellik, her eşkenar dörtgenin bir paralelkenar olduğu anlamına gelir. Eşkenar dörtgen dolayısıyla bir paralel kenarın tüm özelliklerine sahiptir: örneğin, karşı kenarlar paraleldir; bitişik açılar bütünlerdir; iki köşegen birbirini ikiye böler; orta noktadan geçen herhangi bir doğru, alanı ikiye böler; ve kenar uzunluklarının karelerinin toplamı köşegenlerin karelerinin toplamına eşittir (yani, ortak kenar uzunluğuna a ve köşegen uzunluklarına d₁ ve d₂ denirse, 4a² = d₁² + d₂²).

Her paralelkenar bir eşkenar dörtgen değildir ama paralel köşegenleri olan her paralelkenar (ikinci özellik) bir eşkenar paralelkenardır. Genelde, (biri bir simetri ekseni olan) birbirine dik köşegenli her dörtgen bir uçurtmadır. Her eşkenar dörtgen bir uçurtmadır ve hem uçurtma hem paralelkenar olan bir dörtgen bir eşkenar dörtgendir.

Eşkenar dörtgen bir teğetsel dörtgendir.Yani, dört kenarına da teğet olan bir dış teğet çember vardır.

Eşkenar Dörtgen Formülleri

*Paralel kenarın tüm özelliklerini taşır.

*Köşegenler birbirinin dik olarak ortalar. [AC] ^ [BD] [AO]=[OC] ve  [BO]=[OD]’dir.

*Köşegen uzunlukları [AC]=e [BD]=f ise A(ABCD)=  dir.

*Köşegenler açıortaydır.

*e2+f2 = 4a2 dir.

*Eşkenar dörtgenin alanı yükseklikle bir kenarın çarpımıdır. (Şek.23)

*Çevresi 4a’dır.

*Eşkenar dörtgenin iç bölgesinde alınan bir noktanın tüm kenarlar olan uzaklıkları toplamı 2h kadardır.(Şek.24)

[KE]+[KG]+[KF]+[KH]= 2h   ([HF]=[GE]=h )