2 terimin toplamı ile ilgili rasyonal denklem

TANIMLAR:

a, b, c Î R  ve  a ¹ 0 olmak üzere ax² + bx +c = 0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir.

Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir.

Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir.

UYARI

Ayrıca belirtilmedikçe, denklemin çözüm kümesi denildiğinde, denklemin R deki çözüm kümesi anlaşılacaktır.

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ

İlk olarak ax² + bx + c = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz.

ÖRNEKLER :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

1.   3x² – 5x = 0                   2.   x² – x – 6 = 0                   3.   2x² + x – 1 = 0

ÇÖZÜMLER :

1.          3x² – 5x = 0                           2.   x² - x - 6 = 0                         3.   2x² + x - 1 = 0

x . (3x – 5) = 0                            (x - 3) . ( x + 2) = 0                    (x + 1) . (2x - 1) = 0

x = 0   V   3x – 5 = 0                   x - 3 = 0   V   x + 2 = 0               x + 1 = 0   V   2x - 1 = 0

                         x =                  x = 3           x =  -2                      x = -1         x = 

Ç = { 0, }                                Ç = {-2,3}                                   Ç  = {-1,}

ax² + bx + c = 0   DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM)

ax² + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemi düzenlenirse;

ax² + bx + c = a  = a

(x’in katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarıldı).

             = 

       

             = 

             = a = 0 ise

             = = 

              = = 

             = 

o halde x₁ve x₂= elde edilir.

Bu kökler gerçel sayı ise b² - 4ac ³ 0 olması gerekir.

TANIM :

ax² + bx + c = 0 denkleminde b² - 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve D ile gösterilir.

Denklemin kökleri ise x₁ formülleri ile bulunur.

Bu kökler kısaca,  biçiminde yazılır.

İrdeleme: ax² + bx + c = 0 denkleminde  D = b² - 4ac iken

1.          D > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.

Bunlar x₁ = dır.

UYARI

a ile c gerçel sayıları ters işaretli ise D > 0 dır.

2.          D = 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır. Bu durumda denklemin çakışık iki kökü vardır ya da iki kat kökü vardır da denir.

      Bunlar  dır.

      D = 0 olduğundan (ax² + bx + c) ifadesi tamkare olur.

3.          D < 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Denklemin R deki çözüm kümesi Æ dir.

4.           

İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL)

ax² + bx + c = 0 denkleminde b çift iken kullanılabilir. b^’ = Bu durumda, D^’ = (b^’)² - ac

x₁

ÖRNEKLER :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümlerini bulunuz.

1.   x² + 3x - 1 = 0               2.   2x² - 3x + 10 = 0               3.   x² - 2 

ÇÖZÜMLER :

1.          x² + 3x - 1 = 0                                              2.   2x² - 3x + 10 = 0

a = 1,   b = 3,   c = -1                                         a = 2, b = - 3, c= 10

D = (3)² - 4(1) (-1) = 9 + 4 = 13                       D = (-3)² - 4.2.10 = 9 - 80 = -71

                                                                            D < 0 olduğundan Ç = Æ dir.                  

x_1,2 =       

Ç = 

2.          x² - 2+ 3 = 0

a = 1, b = -2 , c = 3

b^’ = 

D^’ =

x_1,2 =

       Ç =  

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER:

A)          ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER 

         P(x).Q(x) = 0  Û  P(x) = 0   V   Q(x)   = 0

ÖRNEKLER:

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

1.   2x³ + 3x² - 18x - 27 = 0                                            2.   3(x - 4)² - 48 = 0

ÖRNEKLER:

1.          2x³ + 3x² - 18x - 27 = 0                                           2.   3(x - 4)² - 48 = 0

     

      x² (2x + 3) - 9(2x + 3) = 0                                               3[(x - 4)² - 16] = 0 Þ (x - 4)² - 4² = 0

      (2x + 3) (x² - 9) = 0                                                          (x - 4) - 4 = 0   V   (x - 4) + 4 = 0

      (2x + 3) . (x - 3) (x + 3) = 0                                                      x - 8 = 0                         x = 0                   

      2x + 3 = 0   V   x - 3 = 0   V   x + 3 = 0                                           x = 8

            x = -             x = 3            x = -3                                         Ç = {0, 8}

            Ç = 

A)  RASYONEL DENKLEMLER

        = 0 Û P(x) = 0   L   Q(x) ¹ 0

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

          (1)                (2x - 1) (x + 4)      (2x - 1) (x + 4)

27 + 4x² - 2x = 6x + 24 - 2x² - 7x + 4

6x² - x - 1 = 0 Þ (2x - 1) (3x + 1) = 0

                 x =                                x =                        Ç =

B)  YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER (DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME)

 ÖRNEK:   x⁶ + 26x³ - 27 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

x³ = t olsun x⁶ = (x³)² = t² olur.

Buradan denklem

t² + 26t - 27 = 0  biçimine dönüşür.

Þ (t + 27) . (t - 1) = 0

     t + 27 = 0   V   t - 1 = 0

     t = -27      t = 1

             x³ = -27     x³ = 1

              x = -3           x = 1

           Ç = {-3,1}

C)  KÖKLÜ DENKLEMLER

n Î N⁺ ve P(x)  Î  R_[x]  olmak üzere

1.                                            ifadesi  "x Î R için tanımlıdır

2.                                            ifadesi, P(x) ³ 0 koşulunu gerçekleyen x’ler için tanımlıdır.

Köklü denklemler çözülürken genelde şu yol izlenir:

1.                                           Köklü ifade ( ya da köklü ifadelerden birisi) eşitliğin bir yanında yalnız bırakılır.

2.                                           Her iki taraf uygun kuvveti alınarak, denklem kökten kurtarılır.

3.                                           Kökten kurtulmuş denklem çözülerek bulunan çözümlerin yukarıda belirtilen koşullara uygun olup olmadığına ya da denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur.

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

 eşitliğinin sağlanması için,

x + 6 ³ 0 ve x + 4 ³ 0  Þ x ³ -4 olmalıdır.

x + 6 = x² + 8x + 16 Þ x² + 7x + 10 = 0

(x + 5) (x + 2) = 0 Þ x = -5   V   x = -2

                              Þ Ç = {-2}

D)  ÜSLÜ DENKLEMLER

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

 dir.

(x+3) (x-2) = 0 Þ x + 3 = 0   V   x - 2 = 0

                         Þ x = -3              x = 2

     Ç = {-2, 3} 

 F)   MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER  

       Mutlak değerli ifade içeren bir denklemi çözmek için yapılacak ilk işlem, gerçel sayılarda mutlak değer tanımını kullanarak mutlak değeri kaldırmaktır. Bunu şöyle açıklayabiliriz.

       n Î N⁺

ÖRNEK:

x² - |x|- 2 = 0  denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

x² - |x| - 2 = 0

Þ x² - (-x) - 2 = 0

Þ x² + x - 2 = 0

Þ (x + 2) . (x - 1) = 0

x = -2        x = 1

Ç₁ = {-2}

x ³ 0 Þ |x| = x dir.

Þ x² - x - 2 = 0

(x - 2)  (x + 1) = 0

x = 2   V   x = -1

Ç₂ = {2}

Denklemin çözüm kümesi ise Ç = Ç₁ È Ç₂ dir. Buradan Ç = {-2, 2} bulunur. 

E)   DENKLEM SİSTEMLERİ

ÖRNEK:

sisteminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

x + y = 20   Þ   y = 20 - x,   x .y = 64   Þ   x . (20 - x) = 64

20x - x² = 64   Þ   x² - 20x + 64 = 0

Þ   (x - 16) (x - 4) = 0,            x₁ = 16   V   x₂ = 4

Þ   y₁ = 20 - 16       Þ y₂ = 20 - 4

       y₁ = 4                      y₂ = 16

       Ç = {(16, 4) , (4, 16)}

 ÖRNEK:

sisteminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

2x - 3y = 12   Þ   

Þ 

Þ 

Þ 

            Ç = 

F)        PAREMETRELİ DENKLEMLER

İçinde x değişkeninden başka sabit ya da sabitler bulunan denklemlere parametreli denklemler denir.

Örneğin; mx² - (m - 1)x - 2m + 3 = 0 denklemindeki parametre m ; 2x² - (a - b)x + a . b = 0 denklemindeki parametreler a ve b dir.

ÖRNEK:

(m - 3)x² - 2mx + 3(m - 1) = 0 denkleminin köklerinden birisi (-1) ise m kaçtır?

ÇÖZÜM:

(m - 3)x² - 2mx + 3(m - 1) = 0

x = -1 için (m - 3) (-1)² - 2m(-1) + 3(m - 1) = 0

           m - 3 + 2m + 3m - 3 = 0

           6m = 6   Þ   m = 1

ÖRNEK:

mx² - 2(m - 1)x + m - 5 = 0  denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç olmalıdır?

 ÇÖZÜM:

x₁ = x₂ ise D = 0 olmalıdır.

Þ   (b^’)² - ac = 0   D   [ - (m - 1)]² - m(m - 5) = 0

m² - 2m + 1 - m² + 5m = 0 Þ m =

UYARI

İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir iki denklemin birer kökleri aynı (ortak) ise, bu iki denklemdeki x² li terimler yok edilir. Bulunan x değeri, denklemlerin ortak kökü olur.

ÖRNEK:

 denklemlerinin çözüm kümesi eşit ise (m, n) ikilisi nedir?

ÇÖZÜM:

1. YOL : Çözüm kümeleri eşit ise denklemlerde birbirine eşit olmalıdır.

                  3 / 2x² - (n - 1)x - m + 6 = 0

                  2 / 3x² - 2x + 2m - 1 = 0

                   Þ

                  -3(n- 1) = -4   ve   -3m + 18 = 4m - 2

                                    7m = 20

                                      m = 

   İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

   ax² + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı   D = b² - 4ac ve kökleri  ve  idi.

Buna göre ;

1. Köklerin toplamı :

2. Köklerin çarpımı : 

3. Köklerin farkı : 

4. Köklerin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı : 

5. Köklerin karelerinin toplamı : 

                                                                            

6.   Köklerin karelerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :

                  

       

7.   Köklerin küplerinin toplamı : 

                                                                          

8. Köklerinin küplerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı : 

UYARI

Köklerle katsayılar arasında verilen bağıntılardan ilk üçünün esas alınarak, diğerlerinin bunlardan ve özdeşliklerden yararlanılarak elde edildiğine dikkat ediniz.

ÖRNEK:

2x² - 4x + m - 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.

x₁² + x₂² = 4 ise m kaçtır?

ÇÖZÜM:

Denklemde a = 2,   b = -4,   c = m - 3 dür.

x₁² + x₂² = 4   Þ   =

Þ 

16 - 4m + 12 = 16

m = 3

ÖRNEK:

2x² + 7x –1 = 0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır? 

ÇÖZÜM:

Denklemin kökleri x₁, x₂ olsun.

İstenen bağıntı (x₁ - 3) . (x₂ - 3) dür.

Buna göre;

(x₁ - 3) . (x₂ - 3) = x₁x₂ - 3x₁ - 3x₂ + 9

= x₁ . x₂ -3 . (x₁ + x₂) + 9 = 

=  olur.

G)     KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK

   Kökleri x₁, x₂ olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, (x - x₁) . (x - x₂) = 0 biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, x² - (x₁ + x₂) . x + (x₁ . x₂) = 0 denklemi elde edilir.

ÖRNEK:

Kökleri -3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?

ÇÖZÜM:

olduğundan denklem,

x² - (x₁ + x₂) . x + (x₁ . x₂) = 0 Þ x² - (-1) . x + (-6) = 0

                                                 Þ x² + x - 6 = 0 dır.

ÖRNEK:

Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi x₁ = 3 -  dir. Bu denklem nedir?

ÇÖZÜM:

UYARI

a, b, c, p, q Î Q olmak üzere ax² + bx + c = 0 denkleminin bir kökü x₁ = p +  ise x₂ = p -  dur.

Buna göre x₁ = 3 - ise x₂ = 3 + dür.

 dir.

Denklem,   xx² - (x₁ + x₂)x + (x₁ . x₂) = 0

                    x² - 6x + 7 =0 olur.