İrrasyonel sayılar ve tarihçesi

İrrasyonel Sayılar:

·    Her rasyonel sayının devirli bir ondalık açılımı olduğunu ve sayı ekseninde belirli  bir yerinin olduğunu biliyorsunuz. Örneğin;

2 ₌ 0,4

      5

·    Ondalık açılımı devirli olmayan bir çok sayı vardır. Bu sayıların rasyonel karşılığı yoktur. Örneğin;

      p = 3,1415926...

·    Karesi 2’ye eşit olan bir rasyonel sayı bulamayız. Bu sayıyı Ö2 şeklinde gösteririz.

1² = 1

Bu işleme devam edersek karesi 2’yi veren bir rasyonel sayının olmadığını görürüz.

O halde Ö2 sayısı sayı ekseninde 1 ile 2 arasındaki bir noktaya karşılık gelir.

1 < Ö2 < 2

Ö2  gibi rasyonel sayı karşılığı olmadığı halde sayı ekseninde bir görüntü noktası olan sayılara İRRASYONEL SAYILAR denir.

İrrasyonel sayılar, I ile gösterilir.

·    Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi Reel Sayılar kümesini verir. Reel sayılar R ile gösterilir.

Q È I = R

I Ì R ise

N Ì Z Ì Q Ì R

Köklü Sayılar:

A bir reel sayı ve m, 1’den büyük bir tamsayı ^mÖa sayısına a sayısının m inci kuvvetten kökü denir.

m sayısına da kökün derecesi denir.

·    M pozitif tek tamsayı ise ^mÖa sayısı bir reel sayıdır.

³Ö5 reel sayıdır.

·    m pozitif çift tamsayı ise ^mÖa sayısı bir reel sayı değildir.

Ö5 reel sayıdır.

Not: Ö-1 sayısı reel sayı değildir. Çünkü hiç bir reel sayı ( - ) değerde olamaz.

Karekök İçindeki İfadenin Kök Dışına Çıkarılması:

Karekök içinde çarpım veya bölüm durumunda verilen ifadeler, 2 veya 2’nin katı kuvvetinde yazılabilirse karekök dışında çıkarılabilirler.

Öa^2m = a^m

Öa² . b²  = a . b

Örnek: Ö4 = Ö2 = 2^2/2 = 2

Kareköklü bir sayıyı aÖb şeklinde yazmak:

Örnek: Ö32 = Ö16.2 = Ö16 . Ö2 = 4Ö2

Rasyonel Sayıların Karekökü:

Örnek: _Ö16 _= Ö4² ₌  4 

               121        11²     11

Uyarı: Tam sayılı olan kesirler birleşik kesirlere çevrilerek,pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır.

Ondalık Sayıların Karekökü:

Ondalık sayıların virgülden sonraki basamak sayıları çift ise tam karekökleri olabilir. 

Örnek:  Ö0,04 sayısının eşitini bulalım.

Çözüm: Ö0,04 ₌ Ö4  ₌ 2 ₌ 0,2

                                100  10

Karekök dışındaki çarpanın kök içine alınması:

Kareköklü sayının katsayısının kök içine almak için katsayısının karesini kök içindeki sayı ile çarpar, kök içine yazarız.

                                                           aÖb = Öa² .b

Örnek: 2Ö3 = Ö2² . 3 = Ö4 . 3 = Ö12

Toplama ve Çıkarma:

Kareköklerin içindeki sayılar aynı ise katsayılar içine yazılır. Mümkünse kök dışına çıkarma işlemi yapılır.

Öa . Öb = Öa .b  ve    Öa . Öa = Öa² = a

Örnek:  Ö5 . Ö3 = Ö5 . 3 = Ö15

Kareköklü sayının n. kuvveti kök içindeki sayının n. kuvvetidir.

                                           (Öa)ⁿ = Öaⁿ

Örnek: (Ö7)² = Ö7² = 7

Bölme:

Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır. Sadeleştirmeler yapılıp mümkünse kök dışına çıkarılır.

                                           Öa = _Ö a

                                           Öb        b

                                          

Ö32 _= Ö 32 = Ö8 = 2Ö2

Ö4          4

Paydayı Rasyonel Yapmak (Kökten Kurtarmak):

Paydayı kökten kurtarmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız.

·    Öa nın eşleniği Öa ve Öa . Öa = a dır.

·    Öa + Öb nin eşleniği Öa - Öb ve (Öa + Öb) . (Öa - Öb) = a - b

1. Paydada Öa varsa:

Pay ve paydayı Öa ile çarparız.

Örnek: 1 ₌ 1 . Ö2 ₌ Ö2

            Ö2   Ö2 . Ö2     2

2. Paydada Öa + Öb varsa:

Pay ve paydayı Öa - Öb ile çarparız.

Örnek:    5      ₌ 5 . (2 - Ö3)       .

            2+Ö3           (2+Ö3) . (2 - Ö3)

₌ 5 . (2- Ö3)

    2² – (Ö3)²

₌ 10 - 5Ö3 ₌ 10 - 5Ö3

      4-3