Mantık Ders Notları - 9.Sınıf Matematik

A. MANTIĞIN ALANI ve İLKELERİ 1- Mantığın Tanımı Düşünmeye dayalı olan her alanın doğruluğu düşünme eyleminin doğru yapılmasına bağlıdır. Çok uzun zamanlardan beri kullanılan mantık, bizlere doğru düşünmenin yollarını gösteren bir bilimdir. Mantığın temel amacı (bilimsel dilden günlük dile kadar tüm alanlardaki) ifadeleri genel bir yöntemle inceleyerek doğruluk ya da yanlışlık yargısıyla değerlendirebilmektir. Mantık, bu amaç için, düşünme faaliyetini çözümlemekle işe başlar. Buna göre: Her insan zihninde herhangi bir konu ile ilgili çeşitli yargılar (önermeler) vardır. Ancak insan, daha geçerli bir doğru bilgi aradığı için, elindeki bilgilerden yeni bilgilere ulaşmaya çalışır. Mantık içerisinde, düşünme faaliyeti bir “akıl yürütme” (kıyas) olarak adlandırılır. Akıl yürütme ise verilen yargılardan (öncüllerden) doğru ya da yanlış olabilecek yeni bir yargı çıkarma işlemidir. Önermelerin doğru veya yanlış olabilmesine doğruluk değerleri denir.

Uyarı : Mantık içerisinde akıl yürütmenin doğruluğu ile gerçek yaşamın doğruluğu birbirinden ayrı olarak değerlendirilir. Mantıkta öncelikli olan (kimi zaman gerçek yaşamın doğruluğuna ters düşse de), akıl yürütmenin doğruluğudur. Mantığın Özellikleri: • Nasıl daha doğru düşünülebileceğini inceler. Bu nedenle olması gerekeni konu edinir ve bu nedenle kural koyan (normatif) bir alandır. • Doğruluk değerini sorgularken deney-gözlem yoluna başvurmaz. • Tüm alanlar için düşünme metotları geliştirir. • Kendisine özgü araştırma yöntemleri vardır. 2- Mantık ile İlgili Temel Kavramlar Varlık : Dış dünyada belli bir konuma sahip, yer kaplayan ve üzerinde deney-gözlem yapılabilen her şeye denir. Kavram : Varlığın zihnimizde bıraktığı etkiyle oluşan izlenimlerdir. Bu izlenimler doğrudan varlığın taşıdığı özellikler olabileceği gibi varlığın taşıdığı özelliklerin tersine çevrilmiş hali de olabilir. Örneğin : ölüm - ölümsüzlük. Terim : Kavramların dildeki söyleniş biçimleridir. Aynı zamanda, dilde tek başına anlam taşıyan en küçük birim olduğunu da söyleyebiliriz. Varlık, kavram ve terimi bir arada gösterecek olursak aşağıdaki şekil ortaya çıkacaktır: İçlem : Bir kavramın kendi bünyesinde taşıdığı özelliklerdir. En özel ifadeler, genel ifadelere göre daha çok içleme sahiptir. Örneğin : “Çikolatalı pasta” kavramı kendi bünyesinde “çikolatalı olma”, “hamur işi olma”, “cansız olma” ve “varlık olma” gibi birçok özellik barındırır; ya da “Türkiyeli” kavramı bünyesinde “Türkiye’de yaşama”, “insan olma”, “canlı olma” ve “varlık olma” gibi birçok özellik barındırır. Tüm bu özellikler bu kavramların içlemidir. Kaplam : Bir kavramın kendi bünyesinde taşıdığı alt grupları o kavramın kaplamını belirtir. En genel ifadeler, özel ifadelere göre daha çok kaplama sahiptir. Örneğin : “Varlık” kavramı “canlı” ve “cansız” kavramlarını alt grubu olarak bünyesinde barındırır. “Canlı” ve “cansız” kavramları da birçok alt kümeye sahiptir ve bu alt kümeler aynı zamanda “varlık” kavramının alt kümeleri sayılır. Önerme : Belli bir yargı ifade eden ve bir doğruluk değeri alabilen ifadelere denir. İstek, emir, soru ve ünlem bildiren ifadeler, herhangi bir doğruluk değeri alamayacakları için önerme olarak değerlendirilmez. Öncül : Düşünsel işlemler (akıl yürütmeler) sonucunda yeni bir önermenin temeli olmuş önermelere denir. Doğruluk Değeri : Herhangi bir ifadenin doğrulanması veya yanlışlanması sonucunda önermeye yüklenen “Doğrudur” ya da “Yanlıştır” değerine denir. Yani doğruluk değeri, bir önermenin doğru olmasını gösterebildiği gibi, yanlış olmasını da gösterebilir. Doğruluk değeri tek bir önermeye yükleniyorsa, bunu belirlemek için gerçekliğin doğrusuna veya hayali doğruya başvurulabilirken; doğruluk değeri öncüllerden elde edilen bir sonuca yükleniyorsa, sadece mantık doğrusuna başvurulabilir. 3- Düşünme Biçimleri Düşünce, üç farklı biçimde gelişim gösterir: a. Analoji (Özelden–Özele) Zihnin iki benzer kavram arasında, benzerliğe dayanarak, yargı genellemesi yapmasıdır. Özel bir kavramdan diğer özel bir kavrama doğru yapılır. b. Tümevarım (Özelden–Genele) Zihnin bir kavrama dair birkaç örnek olaydan sonra benzer bütün kavramlar için geçerli kabul edilecek genel bir sonuca ulaşmasıdır. Özel bir kavramdan benzer bütün kavramların oluşturduğu genel bir kavrama doğru yapılır. c. Tümdengelim (Genelden–Özele) Zihnin bir kavramın bütün üyeleriyle ile ilgili genel bilgisinden hareketle o kavram grubuna ait tek bir eleman için geçerli kabul edilecek sonuca ulaşmasıdır. Genel bir kavramdan (benzeri) tekil bir kavrama doğru yapılır. 4- Düşünme İlkeleri İnsan aklı bir durum karşısında bazı ilkeler çerçevesinde düşünce geliştirir. Mantık ise bu ilkeler içerisinden bazılarını kendisine temel alır bu ilkeler şunlardır: a. Özdeşlik (Aynılık) İlkesi Bir varlığın değişmediği müddetçe hep aynı kalacağını anlatan ilkedir. “A, A’dır” şeklinde gösterilir. Kısaca, “Bir şey ne ise, yalnızca odur” yargısını bildirir. b. Çelişmezlik İlkesi Herhangi bir varlığın aynı anda hem bir şey, hem başka bir şey olamayacağını ifade eder. “A, -A değildir” (A, A olmayan değildir) şeklinde gösterilir. Örneğin, ”Bir şey, aynı anda hem bir yerde, hem de başka bir yerde olamaz.” c. Üçüncü Halin İmkansızlığı Bir varlık ya kendisidir ya da kendisi olmayandır. İfadesi, “A veya -A”dır. Bunun dışında üçüncü bir durum olanaksızdır. Çünkü bir şeyin kendisiyle birlikte kendisi olmayanının toplamı evrensel kümeye karşılık gelir. “A + '-A' = Evren” şeklinde formüle edilir. Örneğin : Elma kırmızıdır ya da kırmızı olmayandır. (Zaten “kırmızı” ve “kırmızı olmayan her şey” tüm evreni ifade ettiği için üçüncü bir durum imkansızlaşmaktadır.) d. Yeter - Sebep İlkesi Herhangi bir durumun gerçekleşmesi için belli bir durumun yeterli olması ilkesidir. Örneğin : “Çalışırsan başarırsın” ifadesinin doğruluğu için “Bütün çalışanlar başardılar” ifadesi yeterlidir. Mantıkta anlam taşıyan en küçük birime Kavram (terim) denir. Kavramlarla yapılan bilgilendirme amaçlı ifadelere Önerme; önermelerden yeni bir önermeye ulaşma işine de Kıyas denir. Ancak her üçünün de mantık içerisinde ayrı bir önemi vardır. B. KAVRAM ve TERİM Kavram, nesnelerin zihnimizdeki tasarımıdır. Terim ise kavramların dil ile ifadesidir. Kavram bir nesneyi, terim ise kavramı gösterir. 1- Kavram Çeşitleri Mantık her kavramı öncelikle “Nelik” ve “Gerçeklik” olarak ele alır. Nelik, bir kavramın zihinde taşıdığı tüm anlamlardır. Gerçeklik ise bir kavramın dünyada taşıdığı tüm somut özelliklerdir. Bir varlığın gerçekliği olsa da henüz algılanmamışsa neliği oluşmaz. Her neliği olan kavramın ise dış dünyada bir karşılığı olmayabilir (örneğin, hayali varlıklar). Ama her kavramın bir neliği vardır. a. Tek Tek Ele Alınışlarına Göre Kavramlar – Tümel, Tikel ve Tekil: Eğer bir kavram, ifade ettiği grubun tamamını kapsıyorsa (bütün insanlar, tüm gezegenler, tüm çiçekler…) “tümel” ; eğer ifade ettiği grubun tümü kadar büyük, bir tek üyesi kadar küçük olmayan bir kısmını kapsıyorsa (bazı insanlar, bir kısım gezegenler, birkaç çiçek…) “tikel” ; eğer gruptaki yalnızca bir elemanı kapsıyorsa (Ali, Ayşe, Dünya, papatya…) “tekil” kavramdır. – Yalın ve Karmaşık: İçlemi az olan genel kavramlara “Yalın”, içlemi fazla olan özel kavramlara "Karmaşık” denir. – Olumlu ve Olumsuz: De Morgan adlı düşünüre göre bir şeyin kendisi ve kendisinin değillenmesi evreni kapsamalıdır. “Üçüncü halin imkansızlığı” ilkesi bunu gerektirmektedir. Bu nedenle bu şeyin kendisine (güzel, iyi, insan, kötü…) “Olumlu” (Pozitif), değillenmesine (güzel olmayan, iyi olmayan, insan olmayan, kötü olmayan…) “Olumsuz” (Negatif) kavram denir. Uyarı: “İyi” ve “kötü olmayan” aynı anlamlara gelseler de farklı gruplarda değerlendirilirler. Çünkü mantık, anlama değil, biçime dikkat etmektedir. – Soyut ve Somut: Bir kavram, gerçekliği olan bir nesneye karşılık geliyorsa “somut”; bir nesnenin ya da nesnelerin ortak özeliğini ifade ediyorsa “soyut” kavramdır. – Kollektif ve Distribütif: Bir kavram insanlar grubunu işaret ediyor ve grubun tamamını ifade ediyorsa kollektif (ortak) kavram; kavram insanlar grubunu işaret ediyor ama gruptaki bir bireyi ifade ediyorsa distribütif (dağıtılmış) kavramdır. b. Birbirleriyle İlişkilerine Göre Kavramlar - Özlük ve İlintilik: Bir kavram, sadece başka bir kavramın özelliğini belirtiyorsa “özlüğü”; kavram, diğer kavram ile birlikte başka kavramlarında özelliğini belirtiyorsa, yani ortak bir özellik ise bu durumda “ilintiliği” olur. Örneğin : “İnsan, elektronik alet yapandır.” ifadesinde “elektronik alet yapmak” sadece insana özgü olduğu için “insan” kavramının “özlüğü” olur. Ancak “İnsan, hareket edendir.” ifadesinde “hareket etmek” insan dışında diğer canlılarda da görüldüğünden “insan” kavramının “ilintiliği”dir. 2- Kavramlar Arası İlişkiler a. Eşitlik İlişkisi Eğer, iki kavram, karşılıklı olarak birbirlerinin tüm elemanlarını kapsayıp, bünyelerinde barındırıyorlarsa bu kavramların aralarında eşitlik ilişkisi vardır. b. Ayrılık İlişkisi Eğer, iki kavram, birbirlerinin hiçbir elemanını kapsamıyor ve bünyelerinde barındırmıyorlarsa bu kavramların aralarında ayrıklık ilişkisi vardır. c. Tam Girişimlilik İlişkisi Eğer, bir kavram, diğer bir kavramın tüm elemanlarını kapsıyor; ancak daha özel olan kavram, diğerinin sadece bazı elemanlarını kapsıyor ise bu kavramların arasında tam girişimlilik ilişkisi vardır. d. Eksik Girişimlilik İlişkisi Eğer, iki kavram da karşılıklı olarak birbirlerinin bazı elemanlarını kapsıyorlarsa, aralarında eksik girişimlilik ilişkisi vardır. 3- Tanım Herhangi bir kavramın anlamını, diğer kavramları kullanarak daha anlaşılır hale getirmektir. Tanımın Özellikleri: – Tanım tam olmalıdır. Yani tanımlanan kavrama dahil tüm elemanlar tanımda kapsanmalı, o kavrama dahil olmayanlar dışarıda bırakılmalıdır. – Bilinmeyen bir kavramla tanım yapılmamalıdır. – Tanımda kısır döngü bulunmamalıdır. Yani açıklaması tanımlanan kavrama bağlı başka bir kavram tanımda olmamalıdır. – Tekil terimler tanımlanamaz, ancak detaylı tasvirleri yapılabilir. – Tanım ne çok kısa ne de çok uzun olmalıdır. Tanımlar, kavramın içleminde veya kaplamında bulunan kavramlara dayanarak, bir de başka kavramlarla yeni ilişki bağları kurularak yapılabilir. a. İçlemine ve Kaplamına Göre Tanımlar Bir kavram, bünyesinde taşıdığı özelliklerin açıklanmasıyla yapılıyorsa (Örn: “Ağaç, bitkidir”; “İnsan, varlıktır”…) içlemine göre; kapsamına eşit bir kavramla yapılıyorsa (Örn: “Canlı, yaşayandır”; “Yarasa, memeli, uçan bir kuştur”…) kaplamına göre tanımdır. b. Ad ve Nesne Tanımları Bir kavram, başka kavramlarla zihinden yeni ilişkiler kurularak açıklanıyorsa (Örn: “Araba, çağımızın gerekleri arasında sayılan, önemli bir araçtır”; “Çikolatalı pasta, dünyanın en güzel yiyeceğidir”…) ad tanımı; deney ve gözlem ile ispatlanmış bir özellik yüklenerek açıklama yapılıyorsa (Örn: “Su, deniz seviyesinde 100 oC’ de kaynar”; “metaller, ısınınca genleşir”…) nesne tanımıdır. C. ÖNERME ve ÖNERME TÜRLERİ Doğru ya da yanlış olsa da herhangi kesin bir yargı bildiren (Örn: "Duvar sarıdır") cümledir. Her önerme cümledir ama her cümle önerme değildir. Emir, dua, istek ve soru tipindeki cümlelerle, adlar, sıfatlar… önerme olamazlar. (Örn: "Duvar sarı olmalıdır"; “Umarım duvar, sarıya boyanmıştır”; “Duvar, sarı mıdır?”…) Her önerme, yüklenilen (özne), yüklenen (yüklem) ve bir de bağ (kopula, özneyi yükleme bağlayan bağlaç) bulunur. Örneğin : Duvar, sarıdır 1- Önerme Çeşitleri a. Yargının Niteliğine Göre Önermeler – Olumlu ve Olumsuz Önermeler: Önermenin yükleminin niteliğine göre değerlendirilmesidir. Buna göre, şayet yüklem, özneye bir özellik ekliyorsa (“Ali, çalışkandır.”; “Pasta, çikolatalıdır.”; “Bütün kadınlar, güzeldir.”) Olumlu; şayet yüklem, özneden bir özellik çıkarıyorsa (“Ali, çalışkan değildir.”; “Masa burada değildir.”; “Hiçbir kadın, çirkin değildir.”) Olumsuz Önermedir. Uyarı : Bu önermeleri değerlendirirken anlama değil biçime bakılır. Örneğin : “Ali, çalışkan değildir.” (Olumsuz) “Ali, tembeldir.” (Olumlu) b. Yargının Sayısına Göre Önermeler – Basit (Yüklemli, Kategorik) Önermeler: Şayet bir önerme, tek bir yargı taşıyorsa basit önermedir. Basit önermeler, sadece özne ve yüklemden oluşurlar. Ancak bazı durumlarda özne ve yüklem açıklamalı verilmiştir. Bunlara, Karmaşık Önermeler de denir. Yine de tek bir özne ve yüklem bulunduğu için karmaşık önermeler, basit önermeler içerisinde değerlendirilirler. Örneğin : “Uzay, fethedilmiştir.” (Basit) “Tarih boyunca insanların ilgisini çeken uzay, meraklı insanlar tarafından fethedilmiştir.” (Karmaşık) – Bileşik Önermeler: Birden fazla yargı taşıyan önermelere denir. Bileşik önermeler, bileşikliği taşıdıkları eklerle açıkça belli olan önermeler ve bileşikliği hiç ek taşımadıkları için gizli olan önermeler olarak ikiye ayrılırlar. I) Bileşikliği açıkça belli olan önermeler  Koşullu Önermeler : Bu önermeler, iki basit önermenin “ise” bağlacıyla birleştirilmesiyle oluşur. Bunun sonucunda “ön bileşen” ve “art bileşen” ortaya çıkar. Ancak bu birleştirmede eğer, bağlaç art bileşenin olup-olmama koşulunu ön bileşene bağlıyorsa Bitişik Koşullu Önerme; eğer bağlaç ön bileşenle art bileşenden birini seçip diğerini yok ediyorsa Ayrık Koşullu Önermedir. Örneğin : “Çok çalışırsa, istediği bölümü kazanır.” (Bitişik) “Kazanamamışsa, gerektiği kadar çalışmış değildir.” (Bitişik) “Ya Marmara’yı ya da Ege’yi kazanacağım” (Ayrık)  Bağlantılı Önermeler : Birbirlerine olumlu ya da olumsuz olarak bağlanmış önermeler topluluğuna de-nir. Örneğin : “Bu yaz hem gezeceğim hem de bol bol dinleneceğim.” (Olumlu – Bağlantılı) “Kışın ne gezdim ne de dinlendim.” (Olumsuz – Bağlantılı)  Nedenli Önermeler : Ön bileşenin, art bileşenin nedeni olduğu önermelerdir. Bu önermelerde bağlantı genelde neden bildiren “çünkü” bağlacıyla yapılır. Örneğin : “Hasta olacaksın; çünkü kendine hiç iyi bakmıyorsun.” “Gitmeni uygun bulmuyorum, yani gitmeni istemiyorum.”  Ekli Önermeler : Bu önermeler, “ama”, “fakat”, “mamafih”, “lâkin” gibi eklerle birbirine bağlanmış basit önermelerden oluşur. Örneğin : “İstediğin yere kaçabilirsin; ama benden sak-lanamazsın.” “Herkes trenden indi; lâkin o inmedi.” II) Bileşikliği gizli olan önermeler Bu tür önermelerin bileşiklikleri biçimlerinden değil, anlamlarından çıkartılır.  Özgülü Önermeler : Yükleminde bildirilen eylemin sadece özneye ait olduğunu bildiren önermelere denir. Bu önermelerde gizli bir “onların dışındakiler de bu özellik bulunmaz” anlamı vardır. Örneğin : “Bu matineye yalnız kadınlar girebilir.” (Kadın olmayanlar giremez.) “Ancak çalışanlar kazanacaktır.” (Çalışmayanlar kazanamayacaktır.)  Çıkarmalı Önermeler : Özne ve yüklemin birbirine “dışında”, “hariç” kavramlarıyla bağlanır. Böylece yüklemdeki eylem, öznenin dışında öznenin ait olduğu kaplamın geneline yayılmıştır. Bu önermelerde “yüklemin yüklediği özelliğin tam tersi öznede bulunur” ifadesi gizli olarak bulunmaktadır. Örneğin : “Seninle ilişkimiz hariç, tüm ilişkilerimde yalan söyledim.” (Seninle ilişkimde yalan söylemedim) “Çikolatalı pasta dışında pasta yemem.” (Çikolatalı pasta yerim)  Karşılaştırmalı Önermeler : İçlerinde “en”, “en çok”, “daha çok” gibi ifadelerle kurulan önermelerdir. Bu önermelerde “Öznenin bulunduğu gruptaki diğer elemanlar yüklemin ifade ettiği özelliği barındırırlar.” ifadesi ile “ama özne, en çok barındırır.” ifadesi gizli olarak bulunmaktadır. Örneğin : “Bu olaya en çok o şaşırdı.” (Diğerleri de şaşırdı) “Bu araba en hızlısıdır.” (Diğer arabalar da hızlıdır.)  Sınırlandırıcı Önermeler : Öznenin yüklemde ifade edilen özelliği nereye veya ne zamana kadar taşıdığını/taşıyacağını belirten önermelerdir. İfade edilen an-lamın tam tersini gizli olarak taşımaktadır. Örneğin : “Bu takım, son dört maçtır galibiyet yüzü görmedi.” (Dört maç öncesine kadar galibiyet alabiliyordu.) “17 Ağustos’tan sonra her şey değişti.” (17 Ağustos’tan önce her şey başkaydı.) c. Yargının Kipliğine Göre Önermeler Bu tür önermelerin ortak özelliği basit önerme olmalarıdır. Öznenin yüklem ile ilişkisini bildirmektedir. Ancak, biçime değil de anlama göre değerlendirme yapıldığı için, kimilerince mantığın konusu dışında tutulmuştur. – Yalın (Assertorik) Önermeler: Öznenin yüklemi deney ve gözlemle ispatlanmış bir şekilde kendisinde taşıdığının ifade edildiği önermelerdir. Örneğin : “İnsan, omurgalıdır.” – Zorunlu (Apodiktik) Önermeler: Öznenin yüklemi zorunlu bir şekilde taşıdığını ifade eden önermelerdir. Örneğin : “Başarı isteyenlerin, sorumlu olması gerekir.” – Mümkün (Problematik) Önermeler: Öznenin yüklemde belirtilen özelliği olasılık olarak taşıyabildiğini ifade eden önermelerdir. Örneğin : “Ayça bugün buraya gelebilir.”