Tek ve çift fonksiyonlar sorular örnekler çözümler

Tek ve çift fonksiyonlar :

Tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ;

f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir.

Diğer bir deyişle

başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek ;

y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.

Örnek 36: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ?

Çözüm : f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3

= -sinx -3x +x3

= -(sinx +3x -x3)

= -f(x) olduğundan tek fonksiyondur.

Örnek 37: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ?

Çözüm : f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x)

= x2 + 4 -cosx

= f(x) olduğundan çift fonksiyondur.

Örnek 38: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ?

Çözüm : f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3

= x2 - x3 -3 olduğundan ne tek ne de çift fonksiyondur.

Örnek 39: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ?

Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0

olduğundan fonksiyon hem tek hem de çifttir.

Diğer bir deyişle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni

hem başlangıç noktası hem de y eksenine göre simetriktir.

Örnek 40: 2f(x) - x -2 = f(-x) fonksiyonu çift olduğuna göre f (x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm : Çift fonksiyon olduğundan f(x) = f(-x) olur.

Dolayısıyla 2f(x) - x -2 = f(x) olacağından f(x) = x+2 olur.

Periyodik fonksiyonlar :

Eğer bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak şekilde bir t gerçek sayısı bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir.

Buradaki t sayısına da o fonksiyonun periyodu denir.

Diğer bir deyişle periyodu t olan bir fonksiyonda

f(x+t) = f(x) ==> ( x+t ) - x = t olur.

Örnek 41: f (x) = g ( 2x+3 ) ile tanımlı iki periyodik fonksiyondan g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ‘ tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?

Çözüm : f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalıdır.

Dolayısı ile g ( 2x+2t +3) = g( 2x+3) ve

( 2x+2t +3) - ( 2x+3) = 5 olmalıdır

( çünkü g (x) fonksiyonunun periyodu 5 )

buradan t = 5/2 bulunur.

f (x) fonksiyonunun periyodu t ise

f (ax+b) fonksiyonunun periyodu olur.

Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 olduğuna göre

g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2 ‘dir de diyebilirdik.

f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotları t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarının periyotları OKEK(t1 , t2 ) olur.Çarpım veya bölümlerinin periyotları ise bu fonksiyonları toplam veya fark formuna çevirerek bulunur.

Örnek 42 : f(x) fonksiyonunun periyodu 3,

g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise

h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ?

Çözüm : f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu 4/2 = 2 olduğundan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur.

Trigonometrik fonksiyonlardan

sin x ve cos x fonksiyonlarının periyotları 2p ;

tanx ve cotx fonksiyonlarının periyotları ise p ‘dir.

Örnek 43 : f (x) = cos(2x-3) + sin (4x-5) ise f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?

Çözüm : cos(2x-3) fonksiyonunun periyodu ve

sin (4x-5) fonksiyonunun periyodu olduğundan

f (x) fonksiyonunun periyodu ikisinin OKEK’i olan p ‘ dir.

Örnek 44 : f (x) = 6sin5xcos3x -5 fonksiyonunun periyodu nedir ?

Çözüm : Ters dönüşüm formullerinden yararlanarak buluruz.

Dolayısıyla f (x) = 3sin 8x +3sin 2x -5 olacağından ;

sin 8x fonksiyonunun periyodu ve

sin 2x fonksiyonunun periyodu ise olur.

f (x) fonksiyonunun periyodu da OKEK ( olur.

Örnek 45 : f(x) = 3sin25x +2 fonksiyonunun periyodu nedir ?

Çözüm : cos 2x = 1-2sin2x olduğundan

olur.

Bu nedenle olur.

f(x) fonksiyonu da

olacağından periyodu da bulunur.

Sinkax ve coskax fonksiyonlarının periyotları k sayısı çift ise ,

k sayısı tek ise ;

tankax ve cotkax fonksiyonlarının periyotları

k sayısı ne olursa olsun ‘dır.

Buna göre aynı soru k =2 olduğundan bu bilgileri kullanarak ’ dir de diyebiliriz .

Fonksiyonların toplamı,farkı, çarpımı,bölümü :

f (x) ve g (x) fonksiyonları için

h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;

h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;

h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ;

h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.

Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan

birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi

f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır.

Örnek 46 : f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanım kümesi A = {-1,1,2,3} ve g (x) = 2x-3 fonksiyonu için tanım kümesi B = {-1,2,3,4} olduğuna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz.

Çözüm : Tanım kümesi = A Ç B = {-1,2,3} olur.

h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 olduğundan

h (-1) = -3

h ( 2) = 12

h (3) = 17 olur ve değer kümesi de G = {-3,12,17} şeklinde bulunur.

Örnek 47 : f : A ® B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve

g : C ® D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 olduğuna göre

h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun değer kümesini bulunuz .

Çözüm : Fonksiyonlar incelendiğinde eşit fonksiyon oldukları görülmektedir. Dolayısı ile h (x) = 5f (x) diye düşünülebilir.

h (1) = 5f (1) = 10 ;

h (2) = 5f (2) = 15 ;

h (3) = 5f (3) = 20 olduğundan değer kümesi ={10,15,20} olarak bulunur.